Aynı Günde Doğmanın Olasılığı

Merhaba Arkadaşlar,
Bugün haberleşme ile ilgili yazılarımızı ufak bir ara verip, bence ilginç sonuçları olan bir konu üzerinde konuşacağız. Yıllar önce Adam Fever’ın “Olasılıksız” kitabını okumuştum. Kitabın bir bölümünde üniversitedeki olasılık dersine giren bir profesör, dersteki öğrencilerden biri ile ilginç bir iddiaya giriyorlar. Merak etmeyin bu yazıda kitap hakkında spoiler yoktur. 🙂 

Öncelikle olayı özetleyerek başlayacak olursak. Olasılık dersini veren hoca sınıfa girer ve sınıfta yaklaşık 50 kişinin olduğunu görür. Sonrasında öğrencilere “Sizce sınıfta aynı gün doğmuş birileri var mıdır?” diye sorar. Öğrenciler 50 kişilik topluluğu yeterli bulmadıklarından dolayı muhtemelen yoktur cevabını verir ve cesur (!) bir öğrenci profesör ile iddiaya girer. 🙂 Sonuç olarak tabii ki profesör iddiayı kazanır ve öğrencilere nasıl kazandığını anlatır. Hoca gelmeden önce sınıftaki öğrencilerin doğum günlerini kontrol etmiştir. Şaka şaka tabii ki profesör hile yapmadı. Olasılık bilgisi sayesinde kazandı ve şimdi biz bu durumun olasılığını inceleyelim.

İlk olarak üç kişi için aynı günde doğmuş kişilerin olma olasılığını hesaplamaya çalışalım sonrasında bu durumu genelleştirebiliriz. Öncelikle bir kişinin benim doğum günüm olan 10 Eylül’de doğduğunu varsayalım. Bu durumda ikinci kişinin de 10 Eylül’de doğmuş olma olasılığı 365 günde 1 gün olduğundan \footnotesize 1/365 olarak yazılabilir. Üçüncü kişinin 10 Eylül’de doğmamış olma olasılığı benzer şekilde bu tarihin dışında herhangi bir gün olabileceği için \footnotesize 364/365 olarak yazılır. Bu durumda birinci kişi ile ikinci kişinin aynı günde, üçüncü kişinin farklı günde doğmuş olma olasılığı aşağıdaki gibi hesaplanabilir.

\small P_1 = \frac{1}{365} \frac{364}{365} 

Ancak burada dikkat edilmesi gereken nokta birinci kişi ile üçüncü kişi veya ikinci kişi ile üçüncü kişi de aynı günde doğmuş olabilir. Bu nedenle üç kişilik grupta iki kişinin aynı günde doğma olasılığı \small P_1 ‘in 3’ün 2’li kombinasyonu yani 3 ile çapılmış halidir.

\small P_2 = 3\left[\frac{1}{365} \frac{364}{365}\right]

Son olarak bu olasılığa üç kişinin de aynı günde doğmuş olma olasılığını eklememiz gerekmektedir. Burada bir kişi herhangi bir günde doğmuş olabileceği, diğer iki kişinin ise ilk kişinin doğduğu günde doğmuş olma zorunluluğu olduğundan dolayı üç kişinin aynı günde doğmuş olma olasılığı aşağıdaki gibi hesaplanabilir.

\small P_3 = \frac{1}{365} \frac{1}{365}

Bu durumda üç kişilik bir grupta en az iki kişinin aynı günde doğmuş olma olasılığı aşağıdaki gibi hesaplanır.

\small P_4 = 3\left[\frac{1}{365} \frac{364}{365}\right] + \frac{1}{365} \frac{1}{365} = \%0,8204

Tahmin edebileceğiniz gibi kişi sayısı arttıkça çok fazla durum oluşmakta ve bunları ayrı ayrı hesaplamak zorlaşmaktadır. Ancak hesaplamaları kolaylaştırmak için probleme farklı bir açıdan bakabiliriz. Üç kişilik bir grupta herkesin farklı bir günde doğmuş olma olasılığını hesaplamak oldukça kolaydır.

\small P_5 = \frac{365}{365} \frac{364}{365} \frac{363}{365} = \%99,1796

Bu bağıntının pay kısmında kişilerin doğmuş olabileceği gün sayıları yer almaktadır. Yani ilk kişin 365 günün herhangi birinde doğmuş olabilir. Herkesin farklı günde doğmuş olması için ikinci kişi ilk kişinin doğduğu gün dışında 364 günün herhangi birinde ve üçüncü kişi de 363 günün herhangi birinde doğmuş olması gerekir. Sonrasında bu olasılığı 1’de çıkardığımızda en az iki kişinin aynı günde doğmuş olma olasılığını elde edebiliriz.

\small P_6 = 1-P_5 = \%0,8204

Görüldüğü gibi \small P_4 ile \small P_6 birbirine eşittir. Şimdi bu durumu genelleştirecek olursak. N kişilik bir grupta en az iki kişinin aynı günde doğmuş olma olasılığı aşağıdaki gibi hesaplanabilir.

\small P = 1-\left[\frac{365\times364\times ... \times (366-N)}{365^N}\right]

Şimdi bu genel bağıntıyı elde ettiğimize göre yazacağımız basit bir program yardımıyla N kişilik bir grupta en az iki kişinin aynı günde doğmuş olma olasılığını N’e bağlı olarak çizdirebiliriz. Bunun için Matlab’da yazdığım basit program aşağıda yer almaktadır. Programın çıktısı ise Şekil 1’de verilmiştir.

clear; 
clc; 
n = 80; % Gruptaki kişi sayısı 
p = zeros(1,n);
 
for i=1:n 
    p(i) = 1-(prod(366-i:365)/365^i); 
end

plot(100*p); grid on; 
xlabel('Kişi Sayısı'); ylabel('Olasılık [%]');

Burada görüldüğü gibi kişi sayısı arttıkça olasılık hızlı bir şekilde artmaktadır. Kitaptaki olaya dönecek olursak profesörün 50 kişilik bir grup için böyle bir iddiaya girmesi oldukça mantıklıdır, çünkü kazanma olasılığı %97 seviyesindedir.

Yazıyı girdiğim bir laboratuvar dersinde bu olayı test ettiğim anım ile sonlandırmak istiyorum. Uzaktan eğitimde öğrencilerin oldukça zorlandığının farkındayım ve bu nedenle biraz kafa dağıtmak ve dikkatleri derse çekmek için 47 kişinin olduğu derste öğrencilere kitaptaki profesörün sorduğu soruyu yönelttim. Aldığım cevaplar ise tıpkı kitapta olduğu gibi aynı günde doğmuş iki kişinin olmayacağı yönündeydi. Ben bir öğrenci ile iddiaya girmedim tabii ki ama hemen durumu test etmeye başladık. Önce Ocak ayında doğanlar hangi gün doğduğunu söyledi, sonra Şubat derken iki öğrencinin 25 Mayıs’ta doğduğunu bulduk. Öğrenciler sonuç karşısında şaşkın ben ise olasılığın yanılmadığını gördüğüm için mutluydum. Son olarak Olasılıksız kitabını okumadıysanız tavsiye ederim efendim. Sonraki yazılarda görüşmek üzere kendinize iyi bakınız. 🙂