Merhaba Arkadaşlar,
Herkesin sevmediği ve hayatından çıkartmak istediği insanlar vardır. 🙂 Sinyallerimizde de çoğu zaman hatta her zaman istemediğimiz işaretler bulunmaktadır. Sevmediğimiz insanları hayatımızdan çıkarma fırsatımız her zaman olmasa da filtreler yardımıyla sinyalimizden istemediğimiz işaretleri çıkartabiliyoruz. Tabii ki her zaman kolay olmuyor.
Öncelikle işaretimizde istemediğimiz işaretler neler olabilir buna ufak bir örnek vermek istiyorum. Okulumuzdaki laboratuvarımızda kol kaslarımızdaki EMG işaretlerini ölçtüğümüzü düşünelim. EMG işaretleri 0-500Hz frekans aralığında 0-10mVpp genliğe sahip işaretlerdir. Laboratuvarımız şebekeden yalıtılmadığı sürece şebeke işareti bizim ölçümümüze gürültü olarak eklenecektir. Yani işaretimizde şebekeden kaynaklı 50Hz frekansında yüksek miktarda gürültü bulunur. İşaret işleme bölümüne geçmeden önce bu gürültüyü bastırmazsak doğru sonuçlar elde edemeyiz. Peki bu gürültüyü nasıl bastırabiliriz? Tabii ki filtreler yardımıyla. 🙂
İlk olarak filtre türlerini tanıyalım. Filtreleri 4 sınıfta gruplandırabiliriz.
- Alçak Geçiren Filtreler (Low Pass Filters, LPF)
- Yüksek Geçiren Filtreler (High Pass Filters, HPF)
- Band Geçiren Filtreler (Band Pass Filters, BPF)
- Band Durduran Filtreler (Band Stop Filters, BSF)
İsimlere baktığınızda filtrelerin ne iş yaptığını anlayacağınızı düşünüyorum. Örneğin alçak geçiren filtre diğer işaretlere bile bile en kötü, en ahlaksızca davranışlarda bulunan işaretleri geçirmektedir. 🙂 Tamam kötü bir şakaydı kabul ediyorum. Buradaki alçak veya yüksekten kastımız girişe uygulanan işaretin frekansıdır. Yani alçak geçiren filtre belirli bir frekansın altındaki işaretlerin çıkışa geçmesine izin verirken diğerlerini engeller. EMG örneğimizdeki şebeke gürültüsünü bastırmak için ise band durduran filtre kullanmamız gerekir. Çünkü istemediğimiz işaret sadece 50Hz frekanslı işaretlerdir. Şimdi Şekil 1’de görülen basit RC devresini inceleyerek filtreleri anlamaya çalışalım.
Bu devrenin girişi ile çıkışı arasındaki ilişkiye bakarak nasıl bir filtre olduğunu anlamaya çalışalım. O zaman bir çevre atarak işe başlayalım.
\small V_i(t)=Ri(t)+V_o(t)
Bu denklemimizde sadece giriş ve çıkış geriliminin bulunması lazım ki devrenin girişteki işaretini çıkışa nasıl aktardığını görebilelim. Bunun için akımı giriş yada çıkış gerilimine bağlı olarak yazmamız gerekmektedir. Kondansatörün üzerindeki gerilim çıkış gerilimi olduğu için devredeki akım çıkış gerilimine bağlı olarak aşağıdaki gibi yazabiliriz.
\small i(t)=C\frac{dV_o(t)}{dt}
Çevre denklemini bu eşitliğe göre düzenlersek.
\small V_i(t)=RC\frac{dV_o(t)}{dt} +V_o(t)
Çevremiz diferansiyel bir denkleme dönüştüğü için çıkış/giriş oranını (transfer fonksiyonunu) bulabilmemiz için Laplace dönüşümü yapıyoruz.
\small V_i(s)=RCsV_o(s) +V_o(s)
\small H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{1}{1+RCs}
Laplace uzayında transfer fonksiyonunu elde ettik. Şimdi Laplace uzayında frekans uzayına geçerek devremizin frekanslara nasıl tepki verdiğini görebiliriz. Bu geçiş işleminde fazla detaya girmek istemiyorum. Bu fonksiyonun köklerinin konumu sayesinde “
\small H(w) = \frac{1}{1+jRCw}
Şimdi MATLAB programı yardımıyla R=1kΩ, C=100nF için 0-10kHz aralığında transfer fonksiyonumuzun genliğinin değişimini çizdirelim. Aşağıdaki 5 satır kodu yazarak basitçe bu işlemi yapabiliriz.
R=1e3; % Direnç
C=1e-7; % Kondansatör
f=1:10000; % Frekans ekseni
H=abs(1./(1+1i*R*C*2*pi*f));
plot(f,H);
Şekil 2’den anlaşılacağı gibi devremiz alçak frekanslı işaretleri az zayıflatırken yüksek frekanslı işaretleri daha fazla zayıflatarak çıkışına aktarmaktadır. Böylelikle devremizin “Alçak Geçiren Filtre” olduğunu öğrenmiş olduk.
Ancak görüldüğü gibi filtremiz yüksek frekanslı işaretleri de tam olarak sıfırlamıyor sadece çok fazla zayıflatıyor. Peki filtrenin hangi frekanstan sonraki işaretleri geçirmediğini söyleyebiliriz? Filtrenin artık işaretleri geçirmemeye başladığı bu değere kesim frekansı denir ve giriş gücünün çıkışta yarıya düştüğü yani 3dB azaldığı frekans değeri olarak tanımlanır.
Peki bu kesim frekansını nereden elde edebiliriz? Tabii ki transfer fonksiyonundan. Transfer fonksiyonu çıkış gerilimi ile giriş gerilimi arasındaki değişimdir. Bu nedenle güçten gerilime geçiş yapmamız gerekmektedir. Bunun için işaret işlemede genellikle 1Ω’luk direnç üzerinde harcanan güç (normalize güç) varsayımı yapılarak güçten gerilime geçiş yapılır.
\small P=\frac{V^2}{R} \rightarrow V=\sqrt{P}
\small \frac{P_o}{P_i}=\frac{1}{2} \rightarrow \frac{V_o}{V_i}=\frac{1}{\sqrt{2}}=0,707
Görüldüğü gibi kesim frekansı gerilimin 0,707 kat zayıfladığı değer olarak bulunabilmektedir. Grafikte işaretlenen noktaya baktığımızda kullandığımız direnç ve kondansatör değerleri için kesim frekansının 1592Hz olduğu görülmektedir.
Şimdi kesim frekansı, direnç ve kondansatör arasındaki ilişkiyi bulalım ki istediğimiz kesim frekansı için hangi değerdeki direnç ve kondansatöre ihtiyacımız olduğunu hesaplayarak bulabilelim. Bunun için transfer fonksiyonumuzun mutlak değerini 0,707 değerine eşitliyoruz ve frekans bileşenini yalnız bırakıyoruz.
\small \left| H(w) \right| =\frac{1}{\sqrt{1+(RCw_c)^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}
\small 1+(RC2\pi f_c)^2=2
\small f_c=\frac{1}{2\pi RC}
Bu denklem sayesinde istediğimiz frekansta bir alçak geçiren filtre tasarlayabiliriz. Ayrıca bu devre analiz adımlarının aynılarını RL veya RLC devrelerini uygulayarak istediğimizi yüksek geçiren veya diğer türdeki filtreleri de tasarlayabiliriz.
Bunların dışında kısaca aktif ve katlı filtrelere değinmek istiyorum. Tranfer fonksiyonumuzun grafiğinde gördüğünüz gibi zayıflama işlemi çok yavaş olmaktadır. Bu kesim işlemini daha keskin hale getimek yani kesim frekansı 1kHz olduğunda 1.1kHz değerini yüksek miktarda zayıflatabilmek için aktif ve katlı filtreler kullanılır. Örneğin iki adet RC devresini arka arkaya bağlayarak devrenin analizini yaparak sonucun nasıl değiştiğini görebilirsiniz. Aktif filtreler ise Op-Amp’lar ile gerçekleştirilmektedir. İsterseniz internette pek çok örneği bulabilirsiniz ancak tavsiyem devre analizlerini kendiniz yapmanız olacaktır.
Böylelikle bir yazının daha sonuna gelmiş olduk. Biraz fazla denklem ağırlıklı bir yazı oldu ama biz mühendislerin işi denklemler ve sayılar zaten. 🙂 Bir sonraki yazıda bir filtre tasarlayacağız. O zamana kadar kendinize iyi bakın efendim.
Her zamanki gibi çok güzel bir yazı olmuş, bir sonraki paylaşımı merak ile bekliyorum 🙂
Teşekkür ederim Lezgin bey. 🙂