Merhaba Arkadaşlar,
Uzun zamandır anlatmak istediğim bir konuya geldik. Fourier dönüşümü ve frekans uzayı, haberleşme ve işaret işleme alanlarında oldukça önemli ve anlaşılması biraz zor bir konudur. Ben de elimden geldiği kadarıyla anlatmaya çalışacağım. Umarım başarabilirim.
Öncelikle “frekans nedir?” sorusuyla başlamak istiyorum. Şimdi “bununla mı başlıyorsun?”, “hadi meseleye gel!” diyebilirsiniz ama böyle temel soruları sormayı önemsemiyoruz ve bu konulardaki ufak eksiklikler olduğunda ilerideki konuların anlaşılması zorlaşıyor. Yani ben böyle düşünüyorum ve bana katlanacağınız düşünerek bu şekilde başladım. 🙂
Sorunun cevabına gelecek olursak. Frekans, bir şeyin (herhangi bir şey) birim zamandaki (1 saniye) tekrar sayısına denir. Buna örnek olarak herkes gibi bir sinüs dalgası vermek yerine yürüyüşümüzden bir örnek vermek istiyorum. Örneğin saniyede iki adım atıyorsak adım frekansımız 2Hz dir. Bir de frekansın zıt kardeşi periyot var. O ise bir şeyin yapılması için geçen süreye denir. Adım örneğine bakacak olursak saniyede iki adım atıyorsak bir adımı yarım (1/2) saniyede atarız. Anlaşılacağı gibi Frekans ile Periyot arasındaki ilişki şu şekildedir;
\small f=\frac{1}{T}
Yine mi aynı formül dediğinizi duyar gibiyim. 🙂 Şimdi yavaşça sinyallere giriş yaparak devam edelim. Sinyalleri periyodik ve periyodik olmayan sinyaller olarak ikiye ayırabiliriz. Periyodik sinyaller belirli bir sürede kendini tekrar eden sinyallere denir. Bunların en ünlüsü tabii ki sinüs ve kosinüs işaretleridir. Peki size tüm periyodik işaretlerin farklı frekanslardaki sinüs ve kosinüslerin toplamı şeklinde oluşturulabileceğini söyleseydim, bana inanır mıydınız? İnanın çünkü bunu ben demiyorum zamanında Jean-Baptiste Joseph Fourier aşağıdaki denklemleri kullanarak bunu yapabileceğimizi ispatlamış.
\small f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)\right]
\small a_0=\frac{2}{T}\int_0^T f(t)dt
\small a_n=\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(n\omega t)dt
\small b_n=\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(n\omega t)dt
Burada 
\small f(t)=0,75+\sum_{n=1}^\infty\left[\left(\frac{5}{2\pi n}-\frac{5\cos({n\pi})}{2\pi n} \right)\sin({n\pi t}) \right]
Seriye bakıldığında bir tam bir kare dalga oluşturmak için sonsuz tane farklı frekanslarda sinüsün toplanmasının gerektiği görülmektedir. Tabii ki sonsuz tane bileşeni toplayamayız, bu nedenle Fourier’in doğru söyleyip söylemediğini kontrol etmek için Matlab programıyla 5, 50 ve 500 tane sinüs için bu serinin grafiğini çizdirelim.
Şekil 1. İlk 5 bileşen 
Şekil 2. İlk 50 bileşen 
Şekil 3. İlk 500 bileşen
Evet Fourier haklıymış. 🙂 Şekilde görüldüğü gibi hesaplanan bileşen sayısı arttıkça işaret kare dalgaya daha çok benziyor. Teoride sonsuz tane bileşen toplandığında tam bir kare dalga elde edilecektir. Ben bu çıktıyı ilk gördüğümde oldukça şaşırmıştım. Her periyodik işaretin sadece sinüs ve kosinüslerin toplamı şeklinde oluşturulabileceğini deneyerek görmek etkileyiciydi. Peki bu ne anlama geliyor? Belki de bu işlemleri yapabilmekten çok bu soruya cevap verebilmemiz daha önemli.
Şimdi düşünelim! Zaman uzayında işaretlerimizi nasıl tanımlıyoruz? Biraz daha düşünelim. Tamam bu kadar yeter. 🙂 Şimdi frekans uzayı diye bir uzay olduğunu varsayalım ve işaretlerimizi burada nasıl tanımlayabileceğimizi düşünelim. Unutmayı varsaydığımız bu frekans uzayının bir uzay olabilmesi için zaman uzayında tanımlanan tüm işaretlerin frekans uzayında da karşılığı olması gerekir.
Güzel bir düşünce egzersizinden sonra şimdi cevaplara gelelim. Bir işareti zaman uzayında hangi saniyede hangi genlik değerinde olduğunu belirterek, frekans uzayında ise işaretimizi hangi frekans değerinde hangi genlikte olduğunu belirterek tanımlayabiliriz. Az önceki kare dalga örneğine dönecek olursak. Kare dalgayı pek çok sinüs işaretinin toplamı şeklinde yazabileceğimizi görmüştük. Peki biz kare dalganın içinde hangi frekanslı sinüslerin hangi genlik değerinde olduğunu görmek isteseydik, ne yapacaktık? Basit! Zaten denkleme baktığımızda n=1 için 0,5Hz frekanslı bir sinüs ve bunun katsayısı görülüyor. Bunları n değerleri için ayrı ayrı hesaplatıp yatay eksenin sinüslerin frekansını gösterdiği, dikey eksenin ise bu sinüslerin genliklerini gösterdiği bir grafikte çizdirirsek periyodik bir kare dalganın frekans uzayındaki karşılığına ulaşmış oluruz (Şekil 4).
Görüldüğü gibi kare dalgamızın içinde belirli frekanslarda işaretler bulunuyor. Bu işaretler kare dalganın frekansının tam katlarında yer alıyorlar. Yani işaretimizi frekansı azalsaydı (periyodu artsaydı) bu grafikte gördüğümüz bileşenler birbirine daha yakın olacaklardı. Bunu aklınızda tutmanızı istiyorum.
Şimdi periyodik işaretlerin fourier serisine açılarak frekans uzayına geçirebileceğimizi gördük. Peki periyodik olmayan işaretler? Eğer periyodik olmayan işaretleri frekans uzayına aktaramazsak frekans uzayının pek bir anlamı olmaz. Neyse ki periyodik olmayan işaretlerin periyodunun sonsuz olduğu teorisi kullanılıp fourier serisinden, fourier dönüşümüne geçiş yapılarak tüm işaretler için frekans uzayının kapıları açılmıştır. 🙂 Periyot sonsuz (frekans sıfır) olduğundan dolayı bu işaretlerin frekans uzayındaki karşılığı fourier serisindeki gibi ayrık değil de sürekli olmaktadır. Frekans uzayında doğrudan geçiş yapabileceğiniz Fourier dönüşümünün bağıntısı aşağıdaki gibidir.
\small F(f)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-j2\pi ft}dt
Artık periyodik veya periyodik olmayan bir işaret için frekans uzayına geçişin yolunu biliyorsunuz. Tavsiye olarak birkaç örnek yaparak en çok bilinen işaretlerin frekans uzayındaki karşılıklarını bilmeniz faydanıza olacaktır.
Geldik en önemli soruya. “Neden frekans uzayına geçiş yapmaya ihtiyacımız var?” (Evet neden sorusunu çok seviyorum 🙂 ) Ben haberleşmeci olduğum için o açıdan yaklaşacağım. Haberleşmede kimlerin hangi band aralığında haberleşme yapacağı karışma olmaması için belirlenmiştir. Bu nedenle bizim işaretimizin frekans uzayında ne kadar yer kapladığını ve hangi frekans aralığında olduğunu bilmemiz ve ona göre bize ayrılan frekans aralığına sıkıştırmamız gerekmektedir. Örneğin insan sesi yaklaşık olarak 100Hz ile 10kHz aralığında değişmektedir ancak bizim bunu zaman uzayında göremiyoruz. Bu nedenle ses işaretini frekans uzayına geçirerek frekansının bulunduğu aralığa bakıyoruz ve bu bizim işaretimizin band genişliğini öğrenmemizi sağlıyor. Daha sonra işaretimizi kanalımıza taşımak için filtreleme ve modülasyon işlemleri yapılabilir. Bu işlemlerin sonuçlarının frekans uzayında incelenmesi daha kolay olmaktadır. Tüm bu avantajlardan dolayı fourier dönüşümü bizim vazgeçilmezimizdir. 🙂
Böylelikle bir yazının daha sonuna gelmiş bulunmaktayız. Bir sonraki yazıda çok güzel bir örnek yapacağım. O zamana kadar kendinize iyi davranın efendim.
“Fourier Dönüşümü ve Frekans Uzayı” için bir yanıt